La Técnica del Elemento Finito
Dentro del contexto amplio de los métodos numéricos de resolución
de problemas, interesan en particular aquellos que permitan encontrar funciones aproximadas que cumplan con
las restricciones de algún problema físico.
El método del ELEMENTO FINITO es un procedimiento sistemático
que permite construir funciones, definidas analíticamente sobre regiones discretas
del dominio a ser estudiado. Dado que las funciones se construyen sobre
regiones del dominio, el método de elemento finito, deberá en general, estar
asociado a definiciones de problemas a través de ecuaciones integrales.
Estas formulaciones integrales de los problemas se estudian
en cursos de la materia asociadas con cada problema con especial énfasis en
trabajos virtuales (desplazamientos) y energía potencial total mínima. Una técnica
ya empleada para resolver dicho tipo de problemas pero abarcando todo el
dominio lo constituye el Método de RAYLEIGH – RITZ.
Se entiende entonces que la construcción de un modelo físico
del problema debe ser anterior a la modelación numérica (elemento finito) y que
ambas etapas y las hipótesis que tienen deben estar claramente diferenciadas en
una secuencia como la indicada:
- VARIABLE DE LA MECANICA
- HIPOTESIS SOBRE EL COMPORTAMIENTO FISICO DEL SISTEMA
- MODELO FISICO DEL PROBLEMA
- APROXIMACION NUMERICA AL PROBLEMA FISICO (DISCRETIZACION)
- SOLUCION APROXIMADA DEL MODELO FISICO
En muchos problemas de ingeniería se puede aplicar
formulaciones variacionales, como la de mínima energía potencial total, que
puede expresarse como:
Δπ = 0
Esta expresión representa la solución exacta (“cerrada”) de
un problema continuo, que consiste en hallar la función analítica que define el
comportamiento de las variables desconocidas.
Los métodos numéricos aproximados que proveen una solución analítica para
todo el dominio como GALERKIN y RAYLEIGH – RITZ tienen el inconveniente que la
misma debe satisfacer las condiciones de contorno esenciales (desplazamiento)
de forma exacta. Esto en general no será posible salvo para casos cuyos
contornos cinemáticas son sean suficientemente regulares.
Es precisamente para suplir esa deficiencia que surge el Método
de ELEMENTO FINITO, que se basa en la subdivisión del dominio de definición en
una serie de subdominios (o elementos) de configuración geométrica susceptible
de ser representada analíticamente en forma conveniente.
El funcional π exacto es entonces reemplazado
(En el método de elementos finitos)
por un funcional aproximado πa, donde las variables del problema son expresadas
en términos de funciones de interpolación segmentaria pesadas por parámetros desconocidos.
Estos parámetros están normalmente asociados con las variables del problema.
