Estabilidad del equilibrio - Calculo de Pandeo
Una aguja perfectamente recta sostenida sobre su punta puede
considerarse en equilibro. Sin embargo, la menor perturbación de este o la
imperfección más pequeña en su fabricación harían imposible tal estado. Se dice
que esta clase de equilibrio es inestable, y es imperativo evitar situaciones
análogas en sistemas estructurales.
Para aclarar más el problema, consideremos una barra
vertical rígida; sometida a una fuerza vertical P y una fuerza horizontal F, con
un resorte de torsión, de rigidez k, en
su base, como se muestra en la figura siguiente (a y b).
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| Calculo de pandeo - Comportamiento de pandeo de una barra rígida. Figura a: izquierda - Figura b: derecha. |
La respuesta a este sistema a medida que aumenta la fuerza P
se indica en la figura b, para una fuerza F grande y una fuerza F pequeña.
Surge entonces la siguiente pregunta ¿Como se comportara este sistema si F=0?
Este es el caso limite y corresponde al estudio del pandeo perfecto. La barra
rígida de la figura a puede experimentar sólo rotación, ya que no se puede
flexionar; es decir, el sistema tiene un grado de libertad.
Para una rotación supuesta, q, el momento en el resorte (restaurador) es kq, y
con F=0, el momento que produce P (perturbador) será PLsenq » PLq, por
lo tanto, si:
Kq >
PLq, el
sistema es estable
Y si,
Kq <
PLq, el
sistema es inestable.
Exactamente en el punto de transición Kq = PLq, el
equilibrio no es estable ni inestable sino neutro (o indiferente). La fuerza
asociada a esta condición es la carga de pandeo o critica, que se designará por
Pc. Para el sistema considerado
Esta condición establece el comienzo del pandeo. Con esta
fuerza dos posiciones de equilibrio son posibles, la forma vertical y una forma
inclinada infinitesimalmente próxima a ella. Por lo tanto, como es posible
seguir dos ramas o caminos en la solución, a esta condición se le llama punto
de bifurcación de la solución de equilibrio. Para P > k/L el sistema es
inestable. Como la solución ha sido linealizada no hay posibilidad de que q sea
arbitrariamente grande en Pc. Considerando grandes desplazamiento, hay siempre
un punto de equilibrio estable en q
< p.
El comportamiento de columnas elásticas, cargadas
concéntricamente y perfectamente rectas, es decir columnas ideales. A partir de
una formulación linealizada del problema se puede determinar las cargas
críticas de pandeo.
Las cargas críticas no describen la acción del pandeo mismo.
Utilizando una ecuación diferencial exacta de la curva elástica para
deflexiones grandes, es posible hallar posiciones de equilibrio más alta que
Pc, correspondiente a la fuerza aplicada P. Los resultados de tal análisis se
ilustran a continuación.
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| Calculo de pandeo - Comportamiento de una barra idealmente elástica. |
Notar especialmente que aumentando P en solo 1,5%Pc sobre Pc
se produce un desplazamiento lateral máximo del 22% de la longitud de la
columna (El hecho de que una columna elástica continúe soportando una carga mas
allá de la carga de pandeo se puede observar aplicando una carga superior a la
carga de pandeo, sobre una barra o placa flexible, por ejemplo, una hoja de
sierra).
Por razones practicas, desplazamientos tan grandes
rara vez pueden ser aceptados. Además, por lo general el material no puede
resistir los esfuerzos de flexión inducidos. Por lo tanto, las columnas reales
fallan inelásticamente. En la gran mayoría de las aplicaciones de ingeniería Pc
representa la capacidad última de una columna recta cargada axialmente en forma
concéntrica.
