Estabilidad del Equilibrio - Pandeo

Estabilidad del equilibrio - Calculo de Pandeo

Una aguja perfectamente recta sostenida sobre su punta puede considerarse en equilibro. Sin embargo, la menor perturbación de este o la imperfección más pequeña en su fabricación harían imposible tal estado. Se dice que esta clase de equilibrio es inestable, y es imperativo evitar situaciones análogas en sistemas estructurales.

Para aclarar más el problema, consideremos una barra vertical rígida; sometida a una fuerza vertical P y una fuerza horizontal F, con un resorte de torsión, de rigidez k,  en su base, como se muestra en la figura siguiente (a y b).

Calculo de pandeo - Comportamiento de pandeo de una barra rígida.
Figura a: izquierda - Figura b: derecha.

La respuesta a este sistema a medida que aumenta la fuerza P se indica en la figura b, para una fuerza F grande y una fuerza F pequeña. Surge entonces la siguiente pregunta ¿Como se comportara este sistema si F=0? Este es el caso limite y corresponde al estudio del pandeo perfecto. La barra rígida de la figura a puede experimentar sólo rotación, ya que no se puede flexionar; es decir, el sistema tiene un grado de libertad.

Para una rotación supuesta, q, el momento en el resorte (restaurador) es kq, y con F=0, el momento que produce P (perturbador) será PLsenq » PLq, por lo tanto, si:

Kq > PLq, el sistema es estable

Y si,

Kq < PLq, el sistema es inestable.

Exactamente en el punto de transición Kq = PLq, el equilibrio no es estable ni inestable sino neutro (o indiferente). La fuerza asociada a esta condición es la carga de pandeo o critica, que se designará por Pc. Para el sistema considerado

Esta condición establece el comienzo del pandeo. Con esta fuerza dos posiciones de equilibrio son posibles, la forma vertical y una forma inclinada infinitesimalmente próxima a ella. Por lo tanto, como es posible seguir dos ramas o caminos en la solución, a esta condición se le llama punto de bifurcación de la solución de equilibrio. Para P > k/L el sistema es inestable. Como la solución ha sido linealizada no hay posibilidad de que q sea arbitrariamente grande en Pc. Considerando grandes desplazamiento, hay siempre un punto de equilibrio estable en q < p.

El comportamiento de columnas elásticas, cargadas concéntricamente y perfectamente rectas, es decir columnas ideales. A partir de una formulación linealizada del problema se puede determinar las cargas críticas de pandeo.

Las cargas críticas no describen la acción del pandeo mismo. Utilizando una ecuación diferencial exacta de la curva elástica para deflexiones grandes, es posible hallar posiciones de equilibrio más alta que Pc, correspondiente a la fuerza aplicada P. Los resultados de tal análisis se ilustran a continuación.

Calculo de pandeo - Comportamiento de una barra idealmente elástica.

Notar especialmente que aumentando P en solo 1,5%Pc sobre Pc se produce un desplazamiento lateral máximo del 22% de la longitud de la columna (El hecho de que una columna elástica continúe soportando una carga mas allá de la carga de pandeo se puede observar aplicando una carga superior a la carga de pandeo, sobre una barra o placa flexible, por ejemplo, una hoja de sierra).

Por razones practicas, desplazamientos tan grandes rara vez pueden ser aceptados. Además, por lo general el material no puede resistir los esfuerzos de flexión inducidos. Por lo tanto, las columnas reales fallan inelásticamente. En la gran mayoría de las aplicaciones de ingeniería Pc representa la capacidad última de una columna recta cargada axialmente en forma concéntrica.