Mejoras en la Esbeltez

¿Como se Mejora la Esbeltez en una Columnas?

Reduciendo la teoría de la esbeltez en columnas podemos simplificar los mecanismos complejos de segundo orden intervinientes en las formulaciones de la ecuación y decir que la relación de la esbeltez depende exclusivamente de la relación de la altura de una columna con su sección. Con ello queremos decir que le esbeltez es directamente proporcional a la altura de la columna e inversamente proporcional al lado de la sección de la columna. Por ejemplo, si tenemos una columna cuadrada tendremos la misma esbeltez en ambos ejes baricentricos de la sección de la columna, en cambio si la sección es rectangular tendremos una esbeltez menor para el lado mayor de la sección y una esbeltez mayor para el lado menor de la sección de la columna.

Se entiendo con lo explicado que la esbeltez se puede mejorar (reducir) de dos manera posible; la primera es ampliando la sección de la columnas y la segunda es reduciendo la altura de la columna entre dos puntos fijos.

En todo diseño estructural de hormigón armado y estructuras metálicas se debe tener en cuenta que una esbeltez grande trae aparejado una mayor flexibilidad a la estructura, por lo cual se debe evaluar los efectos de segundo orden y orden superior en los esfuerzos y desplazamientos. El beneficio que presenta una estructura con esbelteces grandes es que su flexibilidad le permite trabajar prácticamente en el campo lineal de la resistencia del hormigón y el acero.

Cálculo de Pandeo

Calculo de la Carga Critica de Pandeo de EULER

A fin de formular las ecuaciones diferenciales que permitan determinar la carga de pandeo de una columna ideal, de debe permitir que ocurra un pequeño desplazamiento lateral del eje de la columna, figura b. Para la columna con extremos articulados e inicialmente recta, figura a.

Calculo de Pandeo. Columna con extremos articulados y sus tres primeros modos de pandeo.

Para el caso de la figura b, columnas ligeramente flexionadas, el momento flector M en una sección cualquiera es –P.v(x),  que si la substituimos en la ecuación diferencial de la elástica da por resultado

Tomando α²=P/EI y reordenando la ecuación nos queda

La solución de esta ecuación diferencial homogénea es bien conocida y resulta de una suma de funciones armónicas. La solución es

donde las constantes arbitrarias C₁ y C₂ se deben determinar a partir de las condiciones de borde o de contorno, que son

    y      

En consecuencia

Es decir C₂ = 0,   y

La ecuación se puede satisfacer tomando C1 = 0. Como corresponde a la condición sin pandeo, esta solución es trivial. Alternativamente la ecuación también se satisface si

donde n es un entero. En esta ecuación los valores característicos para la ecuación diferencial, que hacen posible una forma de pandeo, requiere que:

Se supondrá en este caso que n puede ser cualquier número entero. Sin embargo, puesto que el interés se centra en el valor mínimo con que puede ocurrir el pandeo, n se debe tomar igual a la unidad. Por lo tanto, la carga critica (o carga critica de Euler) para una columna biarticulada en ambos extremos es:

 

donde I debe ser el momento de inercia mínimo del área transversal de la columna y L la longitud de la misma. Este caso de una columna articulada en ambos extremos se denomina el caso fundamental.

En las entradas posteriores aremos el análisis para diferentes condiciones de borde como ser empotrado-libre, empotrado-articulado y empotrado-empotrado.

_____________________________

Espero que te allá sido de utilidad el post.

Deja un comentario sea bueno o malo, puesto que resulta constructivo para el sitio ya que ayuda a mejorarlo.

_____________________________

Estabilidad del Equilibrio - Pandeo

Estabilidad del equilibrio - Calculo de Pandeo

Una aguja perfectamente recta sostenida sobre su punta puede considerarse en equilibro. Sin embargo, la menor perturbación de este o la imperfección más pequeña en su fabricación harían imposible tal estado. Se dice que esta clase de equilibrio es inestable, y es imperativo evitar situaciones análogas en sistemas estructurales.

Para aclarar más el problema, consideremos una barra vertical rígida; sometida a una fuerza vertical P y una fuerza horizontal F, con un resorte de torsión, de rigidez k,  en su base, como se muestra en la figura siguiente (a y b).

Calculo de pandeo - Comportamiento de pandeo de una barra rígida.
Figura a: izquierda - Figura b: derecha.

La respuesta a este sistema a medida que aumenta la fuerza P se indica en la figura b, para una fuerza F grande y una fuerza F pequeña. Surge entonces la siguiente pregunta ¿Como se comportara este sistema si F=0? Este es el caso limite y corresponde al estudio del pandeo perfecto. La barra rígida de la figura a puede experimentar sólo rotación, ya que no se puede flexionar; es decir, el sistema tiene un grado de libertad.

Para una rotación supuesta, q, el momento en el resorte (restaurador) es kq, y con F=0, el momento que produce P (perturbador) será PLsenq » PLq, por lo tanto, si:

Kq > PLq, el sistema es estable

Y si,

Kq < PLq, el sistema es inestable.

Exactamente en el punto de transición Kq = PLq, el equilibrio no es estable ni inestable sino neutro (o indiferente). La fuerza asociada a esta condición es la carga de pandeo o critica, que se designará por Pc. Para el sistema considerado

Esta condición establece el comienzo del pandeo. Con esta fuerza dos posiciones de equilibrio son posibles, la forma vertical y una forma inclinada infinitesimalmente próxima a ella. Por lo tanto, como es posible seguir dos ramas o caminos en la solución, a esta condición se le llama punto de bifurcación de la solución de equilibrio. Para P > k/L el sistema es inestable. Como la solución ha sido linealizada no hay posibilidad de que q sea arbitrariamente grande en Pc. Considerando grandes desplazamiento, hay siempre un punto de equilibrio estable en q < p.

El comportamiento de columnas elásticas, cargadas concéntricamente y perfectamente rectas, es decir columnas ideales. A partir de una formulación linealizada del problema se puede determinar las cargas críticas de pandeo.

Las cargas críticas no describen la acción del pandeo mismo. Utilizando una ecuación diferencial exacta de la curva elástica para deflexiones grandes, es posible hallar posiciones de equilibrio más alta que Pc, correspondiente a la fuerza aplicada P. Los resultados de tal análisis se ilustran a continuación.

Calculo de pandeo - Comportamiento de una barra idealmente elástica.

Notar especialmente que aumentando P en solo 1,5%Pc sobre Pc se produce un desplazamiento lateral máximo del 22% de la longitud de la columna (El hecho de que una columna elástica continúe soportando una carga mas allá de la carga de pandeo se puede observar aplicando una carga superior a la carga de pandeo, sobre una barra o placa flexible, por ejemplo, una hoja de sierra).

Por razones practicas, desplazamientos tan grandes rara vez pueden ser aceptados. Además, por lo general el material no puede resistir los esfuerzos de flexión inducidos. Por lo tanto, las columnas reales fallan inelásticamente. En la gran mayoría de las aplicaciones de ingeniería Pc representa la capacidad última de una columna recta cargada axialmente en forma concéntrica.

Cálculo de Pandeo

Cálculo de Pandeo – Longitud Efectiva de Pandeo

La carga crítica de pandeo disminuye rápidamente a medida que aumenta la esbeltez de la columna definida como:

Donde k es la longitud efectiva de pandeo, l es la longitud real de la columna y r es el radio de giro de la sección.

La longitud efectiva de pandeo (k) se define con respecto a una columna con su eje perfectamente recto, con la carga centrada (P_c) y apoyos fijos (biarticulados).

A continuación se presentan columnas con distintos tipos de vínculos, y en consecuencia, diferentes longitudes efectivas de pandeo.

Cálculo de Pandeo - Longitud efectiva de pandeo

Cálculo de Pandeo - Longitud efectiva de pandeo