Estabilidad del Equilibrio - Pandeo

Estabilidad del equilibrio - Calculo de Pandeo

Una aguja perfectamente recta sostenida sobre su punta puede considerarse en equilibro. Sin embargo, la menor perturbación de este o la imperfección más pequeña en su fabricación harían imposible tal estado. Se dice que esta clase de equilibrio es inestable, y es imperativo evitar situaciones análogas en sistemas estructurales.

Para aclarar más el problema, consideremos una barra vertical rígida; sometida a una fuerza vertical P y una fuerza horizontal F, con un resorte de torsión, de rigidez k,  en su base, como se muestra en la figura siguiente (a y b).

Calculo de pandeo - Comportamiento de pandeo de una barra rígida.
Figura a: izquierda - Figura b: derecha.

La respuesta a este sistema a medida que aumenta la fuerza P se indica en la figura b, para una fuerza F grande y una fuerza F pequeña. Surge entonces la siguiente pregunta ¿Como se comportara este sistema si F=0? Este es el caso limite y corresponde al estudio del pandeo perfecto. La barra rígida de la figura a puede experimentar sólo rotación, ya que no se puede flexionar; es decir, el sistema tiene un grado de libertad.

Para una rotación supuesta, q, el momento en el resorte (restaurador) es kq, y con F=0, el momento que produce P (perturbador) será PLsenq » PLq, por lo tanto, si:

Kq > PLq, el sistema es estable

Y si,

Kq < PLq, el sistema es inestable.

Exactamente en el punto de transición Kq = PLq, el equilibrio no es estable ni inestable sino neutro (o indiferente). La fuerza asociada a esta condición es la carga de pandeo o critica, que se designará por Pc. Para el sistema considerado

Esta condición establece el comienzo del pandeo. Con esta fuerza dos posiciones de equilibrio son posibles, la forma vertical y una forma inclinada infinitesimalmente próxima a ella. Por lo tanto, como es posible seguir dos ramas o caminos en la solución, a esta condición se le llama punto de bifurcación de la solución de equilibrio. Para P > k/L el sistema es inestable. Como la solución ha sido linealizada no hay posibilidad de que q sea arbitrariamente grande en Pc. Considerando grandes desplazamiento, hay siempre un punto de equilibrio estable en q < p.

El comportamiento de columnas elásticas, cargadas concéntricamente y perfectamente rectas, es decir columnas ideales. A partir de una formulación linealizada del problema se puede determinar las cargas críticas de pandeo.

Las cargas críticas no describen la acción del pandeo mismo. Utilizando una ecuación diferencial exacta de la curva elástica para deflexiones grandes, es posible hallar posiciones de equilibrio más alta que Pc, correspondiente a la fuerza aplicada P. Los resultados de tal análisis se ilustran a continuación.

Calculo de pandeo - Comportamiento de una barra idealmente elástica.

Notar especialmente que aumentando P en solo 1,5%Pc sobre Pc se produce un desplazamiento lateral máximo del 22% de la longitud de la columna (El hecho de que una columna elástica continúe soportando una carga mas allá de la carga de pandeo se puede observar aplicando una carga superior a la carga de pandeo, sobre una barra o placa flexible, por ejemplo, una hoja de sierra).

Por razones practicas, desplazamientos tan grandes rara vez pueden ser aceptados. Además, por lo general el material no puede resistir los esfuerzos de flexión inducidos. Por lo tanto, las columnas reales fallan inelásticamente. En la gran mayoría de las aplicaciones de ingeniería Pc representa la capacidad última de una columna recta cargada axialmente en forma concéntrica.

Esbeltez en Columnas

La Esbeltez en Columnas y el Estudio del Equilibrio – Continuación

Se analiza el comportamiento de una columna de hormigón armado con carga perfectamente centrada y con una ley constitutiva del material que es “no lineal” (figura siguiente). En el hormigón armado debido a la fisuración del hormigón y la fluencia del acero las curvas que representan la resistencia interna de la sección (momento resistente) tampoco presenta una relación lineal con la curvatura (figura b) sino que depende de la carga P aplicada, resulta una respuesta carga-deformación de la columna de hormigón armado presentada en la figura siguiente.

Esbeltez en Columnas - Relación constitutiva del hormigón

Para carga P₂, existe equilibrio estable ya que M_i > M_e salvo que f > f₂. Para la carga P₃, se produce M_i < M_e en todo momento, resultando la columna inestable para f=0.

Para la carga P=P` el equilibrio siempre es estable y solo posible en f=0, para las cargas P` < P₂ < P_c existen dos posiciones de equilibrio para f=0 (estable) y para f = f₂ (inestable).

Esbeltez en Columnas - Relación Momento-Flecha (a) y Carga Normal-Flecha (b).

En la figura siguiente se muestra la influencia de una excentricidad “e” y es el caso que se aproxima mas a la realidad, pues siempre existen excentricidades.

Para cargas P₁ < P` el equilibrio es estable; para cargas P<sub>2</sub> > P` se tienen dos posiciones de equilibrio, una estable y la otra inestable; para una carga P₃ el equilibrio solo es posible en el punto T, y resulta inestable. Para cargas superiores a P₃ el equilibrio no es posible, por lo tanto la carga máxima de la pieza resulta siempre inferior a P_c.

Esbeltez en Columnas - Carga aplicado excentricamente

Esbeltez en Columnas

La Esbeltez en Columnas y el Estudio del Equilibrio

Se describirá el estudio del equilibrio para una columna de material elástico, lineal y homogéneo, idealmente rectilínea y con carga perfectamente centrada.

Se coloca una perturbación “f” y se supone una deformación sinusoidal entre los puntos de inflexión de la deformada elástica. Para analizar el equilibrio de la misma se representa gráficamente el momento flector externo e interno para distintos estados de deformación de la pieza.

Aplicamos la carga P₁, y obligamos a la pieza a salir de la posición idealmente rectilínea, se produce un momento externo: M_e = P₁xf que varía linealmente con f para una carga P₁ constante. En la figura (a) P₁ resulta igual a la pendiente de la recta de momento externo M_e.

Por otro parte para cada estado de deformación, se puede definir una curvatura χ, asociada a un momento flector interno.

              

  (Sólo para f pequeño)

Como se supone que la deformación es sinusoidal entre los puntos de inflexión de la elástica:

  

    Perturbación lateral sinusoidal         

Curvatura de la columna

   

Momento interno resistente

Que resulta también proporcional a “f”.

Se denomina carga crítica de pandeo o de Euler al valor:

Con lo cual no queda

 

Momento externo solicitante

Ecuación de equilibrio:      M_i=M_e  (momento interno = momento externo)

Esta condición nos lleva a tres situaciones:

1) Para una carga P₁ < P_c; M_i > M_e siempre, por lo que al quitar la perturbación, la columna vuelve a la posición original rectilínea, por lo tanto existe equilibrio estable.

2) Para una carga P₁=P_c; M_i=M_e  el equilibrio se vuelve equilibrio indiferente y podemos aumentar f hasta la rotura seccional de la pieza M_u.

3) Para P₁ > P_c; será equilibrio inestable, ya que para cualquier perturbación M_i < M_e.

La figura (b) resume gráficamente las posiciones de equilibrio posibles para una carga P dada.

Esbletes en Columnas - Figura: la derecha es (a) y la izquierda es (b).

 

En la figura siguiente se presenta el comportamiento de una columna con una carga aplicada con una excentricidad inicial “e”. La columna en este caso deforma por si sola hasta que f = f₁ para una carga P₁ pues M_i < M_e1, hasta su deformación. Si se saca a la columna de esa posición, y luego se hace cesar la perturbación de la columna vuelve a ella pues M_i < M_e, el equilibrio es estable.

La figura (b) destaca que para una carga P = P_c no es posible alcanzar el equilibrio ya que la flecha f tiende a infinito y se alcanza la rotura o falla del material para cierto valor de f.

Esbeltez en Columnas - Figura: la derecha es (a) y la izquierda es (b).