Elemento Finito

La Técnica del Elemento Finito

Dentro del contexto amplio de los métodos numéricos de resolución de problemas, interesan en particular aquellos que permitan encontrar funciones aproximadas que cumplan con las restricciones de algún problema físico.

El método del ELEMENTO FINITO es un procedimiento sistemático que permite construir funciones, definidas analíticamente sobre regiones discretas del dominio a ser estudiado. Dado que las funciones se construyen sobre regiones del dominio, el método de elemento finito, deberá en general, estar asociado a definiciones de problemas a través de ecuaciones integrales.

Estas formulaciones integrales de los problemas se estudian en cursos de la materia asociadas con cada problema con especial énfasis en trabajos virtuales (desplazamientos) y energía potencial total mínima. Una técnica ya empleada para resolver dicho tipo de problemas pero abarcando todo el dominio lo constituye el Método de RAYLEIGH – RITZ.

Se entiende entonces que la construcción de un modelo físico del problema debe ser anterior a la modelación numérica (elemento finito) y que ambas etapas y las hipótesis que tienen deben estar claramente diferenciadas en una secuencia como la indicada:

1. VARIABLE DE LA MECANICA
2. HIPOTESIS SOBRE EL COMPORTAMIENTO FISICO DEL SISTEMA
3. MODELO FISICO DEL PROBLEMA
4. APROXIMACION NUMERICA AL PROBLEMA FISICO (DISCRETIZACION)
5. SOLUCION APROXIMADA DEL MODELO FISICO

En muchos problemas de ingeniería se puede aplicar formulaciones variacionales, como la de mínima energía potencial total, que puede expresarse como: 

Δπ = 0

Esta expresión representa la solución exacta (“cerrada”) de un problema continuo, que consiste en hallar la función analítica que define el comportamiento de las variables desconocidas.  Los métodos numéricos aproximados que proveen una solución analítica para todo el dominio como GALERKIN y RAYLEIGH – RITZ tienen el inconveniente que la misma debe satisfacer las condiciones de contorno esenciales (desplazamiento) de forma exacta. Esto en general no será posible salvo para casos cuyos contornos cinemáticas son sean suficientemente regulares.

Es precisamente para suplir esa deficiencia que surge el Método de ELEMENTO FINITO, que se basa en la subdivisión del dominio de definición en una serie de subdominios (o elementos) de configuración geométrica susceptible de ser representada analíticamente en forma conveniente.

El funcional π exacto es entonces reemplazado (En el método de elementos finitos) por un funcional aproximado πa, donde las variables del problema son expresadas en términos de funciones de interpolación segmentaria pesadas por parámetros desconocidos. Estos parámetros están normalmente asociados con las variables del problema.